An Integer can be represented as
the sum of two square number.
অর্থাৎ একটি integer সংখ্যাকে দুটি
সংখ্যার বর্গের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়।এটি একটি classical Math প্রবলেম। এটিকে আমরা এভাবে লিখতে পারি x = a2+b2 ।
Fermat’s
theorem এর সাহায্যে খুব সহজেই এটা বের করা যায়।
একটি সংখ্যা x কে দুটি পূর্ণ সংখ্যার
বর্গের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যাবে যদি ওই সংখ্যাটির (x) প্রাইম factorization
এর প্রতিটি প্রাইম ফ্যাক্টর 4k+3 ফর্মে থাকে জোড় সংখ্যক
বার।
যেমনঃ 147 এর প্রাইম factorization করলে এর প্রাইম ফ্যাক্টর গুলো পাওয়া যাবে 3,7,7
3 কে 4k+3 ফর্মে প্রকাশ করা যায় না।
7 কে 4k+3 ফর্মে প্রকাশ করা যায় যেখানে k=1 (k>=1)। এবং 7 আছে দুই বার। তাই 147 কে দুটি সংখ্যার বর্গের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা
যায়।
আর একটা উদাহরণ দেখা যাক,
42 =
2*3*7 এই প্রাইম ফ্যাক্টর গুলোর মধ্যে মাত্র 7 কে 4k+3 ফর্মে প্রকাশ করা যায়, 2 এবং 3 কে যায় না। তাই 47 কে কখনোই দুটি সংখ্যার বর্গের যোগফল হিসেবে
প্রকাশ করা যাবে না।
Fermat’s
Theorem : কোন
প্রাইম নাম্বারকে দুটি সংখ্যার বর্গের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যাবে শুধুমাত্র যদি
ওই প্রাইম নাম্বারকে 4 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 1 থাকে (p = 1
(mod 4) ।(অথবা p কে যদি 4k+1 ফর্মে লেখা যায় তাহলেই একে p = a2 + b2 ফর্মে লেখা যাবে )
Proof : এই লিঙ্কে
